📐 Matemática Fundamental
Propiedades del
Sistema de los
Números Reales
Un recorrido visual e interactivo por los fundamentos del álgebra. Aprende cada propiedad con definiciones claras y ejemplos numéricos.
11 Propiedades
Ejemplos interactivos
Fórmulas visuales
Diagrama de conjuntos
02
El Sistema de los
Números Reales
Los números reales (ℝ) forman un sistema con subconjuntos anidados: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ. Los irracionales también pertenecen a ℝ, pero son disjuntos de ℚ.
ℕ Naturales
ℤ Enteros
ℚ Racionales
Irracionales
ℝ Reales
ℕ
Naturales
1, 2, 3, 4, 5…
Los números de contar; no incluye 0 ni negativos
Los números de contar; no incluye 0 ni negativos
ℤ
Enteros
…−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3…
Incluye negativos y el cero. ℕ ⊂ ℤ
Incluye negativos y el cero. ℕ ⊂ ℤ
ℚ
Racionales
½, −¾, 0.333…, 5
Expresables como p/q con q ≠ 0. ℤ ⊂ ℚ
Expresables como p/q con q ≠ 0. ℤ ⊂ ℚ
𝕀
Irracionales
√2, π, e, φ, √3
No se expresan como fracción. Son subconj. de ℝ, fuera de ℚ
No se expresan como fracción. Son subconj. de ℝ, fuera de ℚ
ℝ
Reales
ℝ = ℚ ∪ 𝕀
Unión de racionales e irracionales
Unión de racionales e irracionales
03
Porcentajes
Un porcentaje expresa una parte de cada cien. Se escribe con el símbolo % y es equivalente a dividir entre 100. Es una de las herramientas matemáticas más usadas en la vida cotidiana.
¿Qué es un porcentaje?
Un porcentaje es una razón que compara una cantidad con 100. El símbolo % significa "de cada cien".
n% = n / 100
35% = 35/100 = 0.35
75% = 75/100 = 0.75
100% = 100/100 = 1 (el total)
35% = 35/100 = 0.35
75% = 75/100 = 0.75
100% = 100/100 = 1 (el total)
Para convertir % → decimal: divide entre 100.
Para convertir decimal → %: multiplica por 100.
Para convertir decimal → %: multiplica por 100.
Ejemplo 1 — Descuento en tienda
Un artículo cuesta Q200.00 y tiene un descuento del 25%. ¿Cuánto se paga?
Descuento = 25% × Q200
= 0.25 × 200 = Q50.00
Precio final = Q200 − Q50 = Q150.00
= 0.25 × 200 = Q50.00
Precio final = Q200 − Q50 = Q150.00
Descuento 25%Q50 de Q200
████ Ahorro ░░░░░░ Precio final
Ejemplo 2 — Calificación escolar
Un estudiante obtuvo 42 puntos de un total de 60. ¿Qué porcentaje logró?
Porcentaje = (parte / total) × 100
= (42 / 60) × 100
= 0.70 × 100 = 70%
= (42 / 60) × 100
= 0.70 × 100 = 70%
Interpretación: El estudiante alcanzó el 70% de los puntos posibles.
Ejemplo 3 — Aumento de salario
Un trabajador gana Q3,000 y recibe un aumento del 15%. ¿Cuál es el nuevo salario?
Aumento = 15% × Q3,000
= 0.15 × 3,000 = Q450.00
Nuevo salario = Q3,000 + Q450 = Q3,450
= 0.15 × 3,000 = Q450.00
Nuevo salario = Q3,000 + Q450 = Q3,450
Atajo: También se puede calcular como Q3,000 × 1.15 = Q3,450.
04
Propiedad de Cerradura
Se dice que un conjunto es "cerrado" respecto a una operación cuando al aplicarla a dos elementos del conjunto, el resultado sigue perteneciendo al mismo conjunto.
Propiedad de Cerradura
📖 Definición
Para todo a, b ∈ ℝ, la suma a + b y el producto a · b también son números reales. Nunca se "escapa" del conjunto ℝ al sumar o multiplicar.
∑ Fórmula
∀ a, b ∈ ℝ: a + b ∈ ℝ
∀ a, b ∈ ℝ: a · b ∈ ℝ
∀ a, b ∈ ℝ: a · b ∈ ℝ
Nota: ℝ también es cerrado bajo la resta. No lo es bajo la división (por ejemplo, 5 ÷ 0 no está definido).
✦ Ejemplo
✦ Ver ejemplo numérico
▼
Sean
Suma:
Resta:
Producto:
El resultado siempre permanece dentro de ℝ.
a = 7 y b = −3, ambos ∈ ℝ.Suma:
7 + (−3) = 4 → 4 ∈ ℝ ✓Resta:
7 − (−3) = 10 → 10 ∈ ℝ ✓Producto:
7 × (−3) = −21 → −21 ∈ ℝ ✓El resultado siempre permanece dentro de ℝ.
05
Propiedad Conmutativa
La palabra "conmutar" significa cambiar de lugar. Esta propiedad garantiza que el orden de los términos u factores no afecta el resultado de la suma ni de la multiplicación.
Conmutativa de la Suma
📖 Definición
Al sumar dos números reales cualesquiera, el resultado es el mismo sin importar el orden en que se sumen.
∑ Fórmula
a + b = b + a
para todo a, b ∈ ℝ
para todo a, b ∈ ℝ
✦ Ejemplo
✦ Ver ejemplo
▼
8 + 5 = 135 + 8 = 13Otro ejemplo con negativos:
(−4) + 9 = 59 + (−4) = 5El resultado es el mismo:
13 = 13 y 5 = 5 ✓
Conmutativa de la Multiplicación
📖 Definición
Al multiplicar dos números reales, el orden de los factores no altera el producto. Nota: esta propiedad NO aplica a la resta ni a la división.
∑ Fórmula
a · b = b · a
para todo a, b ∈ ℝ
para todo a, b ∈ ℝ
✦ Ejemplo
✦ Ver ejemplo
▼
6 × 9 = 549 × 6 = 54Contraejemplo (resta NO conmuta):
8 − 3 = 5 pero 3 − 8 = −5 ✗El producto es siempre igual:
54 = 54 ✓
06
Propiedad Asociativa
"Asociar" significa agrupar. Esta propiedad establece que al sumar o multiplicar tres o más números, el resultado no depende de cómo se agrupen. Tampoco aplica a la resta ni la división.
Asociativa de la Suma
📖 Definición
Al sumar tres o más números reales, puede cambiarse la agrupación entre paréntesis sin que el resultado varíe.
∑ Fórmula
(a + b) + c = a + (b + c)
para todo a, b, c ∈ ℝ
para todo a, b, c ∈ ℝ
✦ Ejemplo
✦ Ver ejemplo
▼
(5 + 3) + 7 = 8 + 7 = 155 + (3 + 7) = 5 + 10 = 15Con decimales:
(1.5 + 2.5) + 3 = 4 + 3 = 71.5 + (2.5 + 3) = 1.5 + 5.5 = 7 ✓
Asociativa de la Multiplicación
📖 Definición
Al multiplicar tres o más números reales, la forma de agrupar los factores no cambia el producto final.
∑ Fórmula
(a · b) · c = a · (b · c)
para todo a, b, c ∈ ℝ
para todo a, b, c ∈ ℝ
✦ Ejemplo
✦ Ver ejemplo
▼
(3 × 4) × 5 = 12 × 5 = 603 × (4 × 5) = 3 × 20 = 60Contraejemplo (resta NO asocia):
(9 − 4) − 2 = 5 − 2 = 39 − (4 − 2) = 9 − 2 = 7 ✗ (distintos)Ambas agrupaciones dan
60 = 60 ✓
07
Propiedad de Identidad
Un elemento identidad es aquel que, al operar con cualquier número, deja ese número sin cambios. La suma tiene el 0 como identidad; la multiplicación tiene el 1.
Identidad Aditiva (elemento neutro de la suma)
📖 Definición
Existe un número real único, el cero (0), tal que sumarlo a cualquier número real no cambia ese número.
∑ Fórmula
a + 0 = 0 + a = a
para todo a ∈ ℝ
para todo a ∈ ℝ
✦ Ejemplo
✦ Ver ejemplo
▼
12 + 0 = 12 ✓−7 + 0 = −7 ✓0 + 3.14 = 3.14 ✓El cero no altera ningún número al sumarlo.
Identidad Multiplicativa (elemento neutro del producto)
📖 Definición
Existe un número real único, el uno (1), tal que multiplicarlo por cualquier número real no cambia ese número.
∑ Fórmula
a · 1 = 1 · a = a
para todo a ∈ ℝ
para todo a ∈ ℝ
✦ Ejemplo
✦ Ver ejemplo
▼
25 × 1 = 25 ✓−9 × 1 = −9 ✓1 × √5 = √5 ✓El uno no altera ningún número al multiplicarlo.
08
Propiedad del Inverso
Todo número real tiene un inverso: un número que al operar con él produce el elemento identidad correspondiente. El inverso aditivo produce 0; el multiplicativo produce 1.
Inverso Aditivo (opuesto)
📖 Definición
Para cada a ∈ ℝ, existe su opuesto −a ∈ ℝ, tal que a + (−a) = 0. El inverso aditivo de un número positivo es negativo y viceversa.
∑ Fórmula
a + (−a) = 0
para todo a ∈ ℝ
para todo a ∈ ℝ
✦ Ejemplo
✦ Ver ejemplo
▼
6 + (−6) = 0 ✓ (inverso de 6 es −6)−15 + 15 = 0 ✓ (inverso de −15 es 15)½ + (−½) = 0 ✓El 0 es su propio inverso aditivo:
0 + 0 = 0
Inverso Multiplicativo (recíproco)
📖 Definición
Para cada a ∈ ℝ, a ≠ 0, existe su recíproco 1/a ∈ ℝ, tal que a · (1/a) = 1. El cero no tiene inverso multiplicativo.
∑ Fórmula
a · (1/a) = 1 (a ≠ 0)
para todo a ∈ ℝ con a ≠ 0
para todo a ∈ ℝ con a ≠ 0
✦ Ejemplo
✦ Ver ejemplo
▼
5 × (1/5) = 1 ✓ (inverso de 5 es 1/5)−4 × (−1/4) = 1 ✓(2/3) × (3/2) = 1 ✓⚠️ El
0 no tiene inverso multiplicativo (0 × ? = 1 no tiene solución).
09
Propiedad Distributiva
La propiedad distributiva "distribuye" la multiplicación sobre la suma o la resta. Es una de las propiedades más utilizadas para simplificar expresiones algebraicas.
Propiedad Distributiva
📖 Definición
Para todo a, b, c ∈ ℝ, multiplicar un número por una suma (o resta) es igual a distribuir la multiplicación a cada término y luego sumar (o restar) los productos.
∑ Fórmula
a · (b + c) = a·b + a·c
a · (b − c) = a·b − a·c
para todo a, b, c ∈ ℝ
a · (b − c) = a·b − a·c
para todo a, b, c ∈ ℝ
✦ Ejemplo
✦ Ver ejemplo numérico
▼
Ejemplo 1 — Suma:
Ejemplo 2 — Resta:
Ejemplo 3 — Expresión algebraica:
a=4, b=3, c=54(3 + 5) = 4(8) = 324·3 + 4·5 = 12 + 20 = 32 ✓Ejemplo 2 — Resta:
a=6, b=10, c=46(10 − 4) = 6(6) = 366·10 − 6·4 = 60 − 24 = 36 ✓Ejemplo 3 — Expresión algebraica:
3(x + 2) = 3x + 6
Aplicación clave: Esta propiedad es la base para factorizar y expandir expresiones algebraicas, y es esencial para resolver ecuaciones de primer grado.
10
Propiedades de Igualdad
Las propiedades de igualdad permiten manipular ecuaciones sin romper el equilibrio entre ambos lados. Son la base de la resolución de ecuaciones algebraicas.
Propiedad de Adición de la Igualdad
📖 Definición
Si a = b, entonces al sumar (o restar) el mismo número c a ambos lados, la igualdad se conserva.
∑ Fórmula
Si a = b, entonces:
a + c = b + c
a − c = b − c
a + c = b + c
a − c = b − c
✦ Ejemplo
✦ Ver ejemplo
▼
Resolver:
Sumo 6 a ambos lados:
Verificación:
x − 6 = 10Sumo 6 a ambos lados:
x − 6 + 6 = 10 + 6x = 16 ✓Verificación:
16 − 6 = 10 ✓
Propiedad de Multiplicación de la Igualdad
📖 Definición
Si a = b, entonces al multiplicar (o dividir) ambos lados por el mismo número c ≠ 0, la igualdad se conserva.
∑ Fórmula
Si a = b, entonces:
a · c = b · c
a / c = b / c (c ≠ 0)
a · c = b · c
a / c = b / c (c ≠ 0)
✦ Ejemplo
✦ Ver ejemplo
▼
Resolver:
Divido ambos lados entre 3:
Verificación:
3x = 21Divido ambos lados entre 3:
3x / 3 = 21 / 3x = 7 ✓Verificación:
3 × 7 = 21 ✓
Propiedades fundamentales de la igualdad
📖 Definición
La relación de igualdad (=) cumple tres propiedades básicas que la hacen una relación de equivalencia.
∑ Fórmula
Reflexiva: a = a
Simétrica: si a = b, entonces b = a
Transitiva: si a = b y b = c, entonces a = c
Simétrica: si a = b, entonces b = a
Transitiva: si a = b y b = c, entonces a = c
✦ Ejemplo
Ejemplo Transitiva: Si Juan mide lo mismo que Pedro (Juan = Pedro) y Pedro mide lo mismo que Luis (Pedro = Luis), entonces Juan mide lo mismo que Luis (Juan = Luis). En números: si
2+3 = 5 y 5 = 4+1, entonces 2+3 = 4+1.
11
Propiedad de Multiplicación por Cero
El cero posee una característica única dentro de la multiplicación: siempre anula cualquier número con el que se multiplica, sin importar cuán grande o pequeño sea.
Multiplicación por Cero
📖 Definición
Para todo número real a, el producto de a por cero es siempre cero. Esta propiedad se deriva de la existencia del inverso aditivo y la distributividad.
∑ Fórmula
a · 0 = 0 · a = 0
para todo a ∈ ℝ
para todo a ∈ ℝ
✦ Ejemplo
Demostración breve: Como
0 = 0 + 0, entonces a·0 = a·(0+0) = a·0 + a·0. Restando a·0 a ambos lados: 0 = a·0.✦ Ver ejemplos
▼
15 × 0 = 0 ✓−237 × 0 = 0 ✓0 × π = 0 ✓0 × 1,000,000 = 0 ✓⚠️ No confundir:
a × 0 = 0 siempre, pero a + 0 = a (la identidad aditiva es distinta).
12
Propiedad de Cancelación
Esta propiedad permite eliminar un factor común de ambos lados de una igualdad multiplicativa, siempre que ese factor sea diferente de cero. Es clave para simplificar ecuaciones.
Propiedad de Cancelación
📖 Definición
Si el producto a·c es igual al producto b·c, y el factor común c ≠ 0, entonces necesariamente a = b. Se puede "cancelar" el factor c.
Si a·c = b·c y c ≠ 0
entonces a = b
entonces a = b
¿Por qué c ≠ 0? Si c = 0, entonces a·0 = b·0 = 0 para cualquier a y b, por lo que no se puede concluir que a = b. Por ejemplo: 3·0 = 7·0 = 0, pero 3 ≠ 7.
✦ Ver ejemplo numérico
▼
Con números:
Como c = 4 ≠ 0, cancelamos:
Aplicación algebraica:
Si
Verificación:
5 × 4 = 20 y ? × 4 = 20Como c = 4 ≠ 0, cancelamos:
? = 5 ✓Aplicación algebraica:
Si
6x = 6 × 8, cancelamos el 6 (≠ 0):x = 8 ✓Verificación:
6 × 8 = 48 = 6 × 8 ✓
13
División de Cero y por Cero
El cero participa en la división de dos formas completamente distintas. Comprenderlas evita errores algebraicos muy comunes.
Cero dividido entre un número (b ≠ 0)
0 ÷ b = 0
Definido · resultado = 0
Si repartimos 0 objetos entre cualquier número de grupos, cada grupo recibe 0. Esto se puede verificar:
0 = b × 0 ✓0 ÷ 8 = 0 (pues 8 × 0 = 0 ✓)
0 ÷ (−5) = 0 (pues −5 × 0 = 0 ✓)
0 ÷ (−5) = 0 (pues −5 × 0 = 0 ✓)
Número entre cero (a ≠ 0)
a ÷ 0
No definido (no existe)
No existe ningún número real x tal que
0 × x = a (con a ≠ 0), porque 0 × (cualquier número) = 0, nunca igual a a.12 ÷ 0 → no existe
pues 0 × ? = 12 no tiene solución
pues 0 × ? = 12 no tiene solución
Cero entre cero
0 ÷ 0
Indeterminado
La ecuación
0 × x = 0 se satisface con cualquier valor de x. No hay un resultado único, por eso es indeterminada.0 × 1 = 0 ✓, 0 × 5 = 0 ✓
0 × 100 = 0 ✓ → ∞ soluciones
0 × 100 = 0 ✓ → ∞ soluciones
14
Ejercicios de Práctica
Aplica lo aprendido. Haz clic en cada ejercicio para ver la solución paso a paso.
Ejercicio 1 — Propiedad Distributiva
Expande y simplifica la siguiente expresión: 5(2x + 3) − 4(x − 1)
✦ Ver solución
▼
Paso 1 — Aplicar distributividad:
Paso 2 — Sumar términos semejantes:
Propiedad usada: Distributiva y Conmutativa/Asociativa de la suma.
5(2x + 3) = 10x + 15−4(x − 1) = −4x + 4Paso 2 — Sumar términos semejantes:
10x + 15 − 4x + 4= (10x − 4x) + (15 + 4)= 6x + 19 ✓Propiedad usada: Distributiva y Conmutativa/Asociativa de la suma.
Ejercicio 2 — Propiedades de Igualdad
Resuelve la ecuación: 4x − 8 = 20, indicando qué propiedad usas en cada paso.
✦ Ver solución
▼
4x − 8 = 20Paso 1 — Sumo 8 a ambos lados (Propiedad de adición de la igualdad):
4x − 8 + 8 = 20 + 84x = 28Paso 2 — Divido entre 4 (Propiedad de multiplicación de la igualdad):
4x / 4 = 28 / 4x = 7 ✓Verificación:
4(7) − 8 = 28 − 8 = 20 ✓
Ejercicio 3 — Propiedad de Cancelación
Si 3(x + 2) = 3(11), encuentra el valor de x usando la propiedad de cancelación.
✦ Ver solución
▼
3(x + 2) = 3(11)Como el factor
3 ≠ 0, por la propiedad de cancelación podemos eliminar el 3 de ambos lados:x + 2 = 11Ahora resolvemos (prop. adición de igualdad, resto 2):
x = 11 − 2 = 9 ✓Verificación:
3(9+2) = 3(11) = 33 ✓
Ejercicio 4 — Porcentaje aplicado
En una clase de 40 estudiantes, el 35% obtuvo nota excelente. ¿Cuántos estudiantes obtuvieron nota excelente?
✦ Ver solución
▼
Datos: Total = 40 estudiantes, porcentaje = 35%
Fórmula:
Verificación:
Fórmula:
Cantidad = porcentaje × total= 35% × 40= 0.35 × 40= 14 estudiantes ✓Verificación:
14 / 40 = 0.35 = 35% ✓
Ejercicio 5 — Identifica la propiedad
Indica qué propiedad del sistema de números reales justifica cada igualdad:
a) 7 + (−7) = 0
b) (3 × 5) × 2 = 3 × (5 × 2)
c) 9 × 1 = 9
d) 4(6 + 2) = 4·6 + 4·2
e) 12 + 5 = 5 + 12
b) (3 × 5) × 2 = 3 × (5 × 2)
c) 9 × 1 = 9
d) 4(6 + 2) = 4·6 + 4·2
e) 12 + 5 = 5 + 12
✦ Ver solución
▼
a) 7 + (−7) = 0 → Inverso aditivo ✓b) (3×5)×2 = 3×(5×2) → Asociativa de la multiplicación ✓c) 9 × 1 = 9 → Identidad multiplicativa ✓d) 4(6+2) = 4·6 + 4·2 → Distributiva ✓e) 12 + 5 = 5 + 12 → Conmutativa de la suma ✓