📐 Matemática Fundamental
Propiedades del
Sistema de los
Números Reales
Un recorrido visual e interactivo por los fundamentos del álgebra. Aprende cada propiedad con definiciones claras y ejemplos numéricos.
10 Propiedades
Ejemplos interactivos
Fórmulas visuales
Diagrama de conjuntos
02
El Sistema de los
Números Reales
Los números reales forman un sistema que incluye varios subconjuntos anidados, desde los naturales hasta los irracionales.
ℕ Naturales
ℤ Enteros
ℚ Racionales
Irracionales
ℝ Reales
ℕ
Naturales
1, 2, 3, 4, 5…
ℤ
Enteros
…-2, -1, 0, 1, 2…
ℚ
Racionales
½, -¾, 0.25, 3
𝕀
Irracionales
√2, π, e, φ
ℝ
Reales
Todos los anteriores
03
Porcentajes
Un porcentaje expresa una parte por cada cien unidades del todo. Es una herramienta matemática de uso cotidiano.
¿Qué es un porcentaje?
Un porcentaje es una razón que compara una cantidad con 100. El símbolo % representa "de cada cien".
porcentaje / 100 = fracción decimal
35% = 35/100 = 0.35
35% = 35/100 = 0.35
Regla clave: Para convertir a decimal, divide entre 100.
Ejemplo práctico
Un descuento del 25% sobre un precio de $100.00.
Descuento = 25% × $100
= 0.25 × 100 = $25.00
Precio final = $100 - $25 = $75.00
= 0.25 × 100 = $25.00
Precio final = $100 - $25 = $75.00
Descuento 25%$25 de $100
████ Ahorro ░░░░░░ Precio final
04
Propiedad de Cerradura
El conjunto de los números reales es "cerrado" bajo las operaciones de suma y multiplicación.
Definición
Si a y b son números reales, entonces la suma y el producto de a y b también son números reales. El conjunto ℝ no "escapa" al realizar estas operaciones.
a, b ∈ ℝ → a + b ∈ ℝ
a, b ∈ ℝ → a · b ∈ ℝ
a, b ∈ ℝ → a · b ∈ ℝ
✦ Ejemplo numérico
▼
Sean
Suma:
Producto:
El resultado siempre permanece dentro de ℝ.
a = 3.5 y b = √2, ambos números reales.Suma:
3.5 + √2 ≈ 4.914... → es real ✓Producto:
3.5 × √2 ≈ 4.950... → es real ✓El resultado siempre permanece dentro de ℝ.
05
Propiedad Conmutativa
El orden de los sumandos o factores no altera el resultado de la operación.
Suma
Al sumar dos números, el orden no cambia el resultado.
a + b = b + a
✦ Ejemplo
▼
5 + 3 = 83 + 5 = 8El resultado es el mismo:
8 = 8 ✓
Multiplicación
Al multiplicar dos números, el orden no cambia el producto.
a · b = b · a
✦ Ejemplo
▼
4 × 7 = 287 × 4 = 28El resultado es el mismo:
28 = 28 ✓
06
Propiedad Asociativa
Al operar tres o más números, la forma de agruparlos no afecta el resultado.
Asociativa · Suma
Los paréntesis indican qué se opera primero, pero el resultado es el mismo sin importar la agrupación.
(a + b) + c = a + (b + c)
✦ Ejemplo
▼
(2 + 3) + 4 = 5 + 4 = 92 + (3 + 4) = 2 + 7 = 9Ambas agrupaciones dan
9 ✓
Asociativa · Multiplicación
De igual manera, la agrupación de factores no cambia el producto final.
(a · b) · c = a · (b · c)
✦ Ejemplo
▼
(2 × 3) × 4 = 6 × 4 = 242 × (3 × 4) = 2 × 12 = 24Ambas agrupaciones dan
24 ✓
07
Propiedad de Identidad
Existen elementos neutros (identidades) que dejan a cualquier número sin cambios al operar con él.
Elemento identidad · Suma
El cero es el elemento identidad de la suma. Sumar cero a cualquier número da el mismo número.
a + 0 = 0 + a = a
✦ Ejemplo
▼
7 + 0 = 7-15 + 0 = -15√3 + 0 = √3
Elemento identidad · Multiplicación
El uno es el elemento identidad de la multiplicación. Multiplicar por 1 no cambia ningún número.
a · 1 = 1 · a = a
✦ Ejemplo
▼
7 × 1 = 7-15 × 1 = -15π × 1 = π
08
Propiedad del Inverso
Todo número real tiene un elemento inverso que, al operar con él, devuelve el elemento identidad.
Inverso Aditivo
Para cada número a, existe su opuesto −a, tal que su suma da cero (el elemento identidad de la suma).
a + (-a) = 0
✦ Ejemplo
▼
5 + (-5) = 0-8 + 8 = 0√2 + (-√2) = 0
Inverso Multiplicativo
Para cada número a ≠ 0, existe su recíproco 1/a, tal que su producto da uno (elemento identidad).
a · (1/a) = 1 (a ≠ 0)
✦ Ejemplo
▼
4 × (1/4) = 1-3 × (-1/3) = 1½ × 2 = 1
09
Propiedad Distributiva
Conecta la multiplicación con la suma, permitiendo "distribuir" un factor sobre una suma.
Definición
Multiplicar un número por una suma es igual a multiplicar ese número por cada sumando y luego sumar los productos.
a(b + c) = ab + ac
a(b - c) = ab - ac
a(b - c) = ab - ac
✦ Ejemplo numérico
▼
Sea
Lado izquierdo:
Lado derecho:
Ambos lados son iguales:
a = 3, b = 4, c = 5:Lado izquierdo:
3(4 + 5) = 3(9) = 27Lado derecho:
3·4 + 3·5 = 12 + 15 = 27Ambos lados son iguales:
27 = 27 ✓
Aplicación: Esta propiedad es fundamental para simplificar expresiones algebraicas y resolver ecuaciones.
10
Propiedades de Igualdad
La igualdad se mantiene si realizamos la misma operación en ambos lados de la ecuación.
Suma de Igualdad
Si dos cantidades son iguales y sumamos el mismo valor a ambas, la igualdad se mantiene.
Si a = b
entonces a + c = b + c
entonces a + c = b + c
✦ Ejemplo
▼
Si
Muy útil para resolver ecuaciones como
5 = 5, entonces:5 + 3 = 5 + 38 = 8 ✓Muy útil para resolver ecuaciones como
x - 4 = 10 → x = 14
Multiplicación de Igualdad
Si dos cantidades son iguales y multiplicamos ambas por el mismo valor, la igualdad se mantiene.
Si a = b
entonces a · c = b · c
entonces a · c = b · c
✦ Ejemplo
▼
Si
Útil para
4 = 4, entonces:4 × 2 = 4 × 28 = 8 ✓Útil para
x/3 = 5 → x = 15
11
Propiedad de Multiplicación por Cero
El cero tiene un comportamiento especial al multiplicar: siempre produce cero.
Definición
Para todo número real a, multiplicar por cero siempre da cero como resultado, sin importar el valor de a.
a · 0 = 0 · a = 0
✦ Ejemplos
▼
9 × 0 = 0-157 × 0 = 0√5 × 0 = 00 × 1,000,000 = 0El resultado siempre es
0, sin excepción ✓
12
Propiedad de Cancelación
Si dos productos son iguales y comparten un factor no nulo, los otros factores también son iguales.
Definición
Esta propiedad permite "cancelar" un factor común en ambos lados de una igualdad multiplicativa, siempre que ese factor sea distinto de cero.
Si ac = bc y c ≠ 0
entonces a = b
entonces a = b
✦ Ejemplo numérico
▼
Si
entonces
Aplicación algebraica:
Si
→
⚠️ Si
3 × 5 = 15 y 3 × 5 = 15,entonces
3 = 3 ✓Aplicación algebraica:
Si
4x = 4(7), cancelamos 4:→
x = 7 ✓⚠️ Si
c = 0, no se puede cancelar (no hay conclusión válida).
13
División de Cero y por Cero
La división involucra al cero de dos maneras distintas con resultados muy diferentes.
Cero dividido entre un número
0 ÷ b
= 0 · Definido
El resultado es siempre cero, ya que cero repartido en cualquier grupo sigue siendo cero.
0 ÷ 5 = 0
0 ÷ (-3) = 0
0 ÷ (-3) = 0
Número dividido entre cero
a ÷ 0
Indefinido
No existe ningún número real que multiplicado por 0 dé un resultado distinto de 0.
7 ÷ 0 → ∄ (no existe)
-5 ÷ 0 → ∄ (no existe)
-5 ÷ 0 → ∄ (no existe)
Cero entre cero
0 ÷ 0
Indeterminado
Esta forma es indeterminada porque cualquier número podría satisfacer la ecuación.
0 × ? = 0 → cualquier valor
→ forma indeterminada
→ forma indeterminada